Brian Durán
Tarea: Sesión 4 y 5
I Parte
- Sea \(P=(2,3)\), \(Q=(5,2)\), \(R=(2,-5)\) y \(S=(1,-2)\). Calcule \(proy_{\vec{PQ}}\vec{RS}\).
\(\vec{PQ}\)
rr q <- c(5,2) p <- c(2,3) pq <- q - p pq
[1] 3 -1\(\vec{RS}\)
rr r <- c(2,-5) s <- c(1,-2) rs <- s - r rs
[1] -1 3\(proy_{\vec{PQ}}\vec{RS}\)
rr
proy <- project(rs, pq)
fractions(proy)
[1] -9/5 3/5- Sea \(u = (-2,1,6)\) y \(v = (2,4,5)\), comprueba que el vector \(w\) dado por \(w = u - \frac{u \cdot v}{\|v\|^2} v\) Es un vector ortogonal con \(v\)
Calculamos:
\(u \cdot v\)
rr u <- c(-2,1,6) v <- c(2,4,5) sum(u*v)
[1] 30\({\|v\|^2}\)
rr
v2 <- norm(v, type=\2)^2 v2
[1] 45\(w = u - \frac{u \cdot v}{\|v\|^2} v\)
rr
prod_punto_u_v = sum(u*v)
w = u - ((prod_punto_u_v / v2) * v)
w = fractions(w)
sum(w*v)
[1] 0rr subspace(as.matrix(w),as.matrix(v))
[1] 1.570796rr 180*subspace(as.matrix(w),as.matrix(v))/pi
[1] 90\(W _{\bot } V ?\)
w es ortogonal con v, ya que la múltiplicación entre ellos es igual a cero. Además de que el ángulo que los separa es igual a \(\pi\ /2\)
- Sean \(A=(3,0,0)\), \(B=(1,0,2)\), \(C=(2,3,0)\) puntos en el espacio (\(R^3\)).
Con estos puntos:
- Determine si el triángulo \(ABC\) es rectángulo, obtusángulo o acutángulo.
rr a <- c(3,0,0) b <- c(1,0,2) c <- c(2,3,0)
ab <- b-a bc <- c-b ca <- a-c
180*subspace(as.matrix(ab), as.matrix(bc))/pi
[1] 55.46242rr 180*subspace(as.matrix(bc), as.matrix(ca))/pi
[1] 47.45855rr 180*subspace(as.matrix(ab), as.matrix(ca))/pi
[1] 77.07903Respuesta: El triángulo es acutángulo, ya que todos sus ángulos se encuentran entre 0 y 90 grados.
- Determine el perímetro del triángulo \(ABC\)
rr norma_ab <- norm(ab, type=\2) norma_bc <- norm(bc, type=\2) norma_ca <- norm(ca, type=\2)
perimetro <- norma_ab + norma_bc + norma_ca perimetro
[1] 9.732362- Determine el área del triángulo ABC
rr semiperimetro <- perimetro / 2
Por formula de Héron
area = sqrt(semiperimetro * (semiperimetro - norma_ab) * (semiperimetro - norma_bc) * (semiperimetro - norma_ca))
area
[1] 4.358899II Parte
- Compruebe que la matriz P, es ortogonal:
rr p <- matrix(c(1/2, 1/2, 1/2, 1/2, (1/sqrt(2)), -(1/sqrt(2)), 0, 0, (1/sqrt(6)), (1/sqrt(6)), -(2/sqrt(6)), 0, (1/(2sqrt(3))), (1/(2sqrt(3))), (1/(2sqrt(3))), -(3/(2sqrt(3)))), nrow=4, ncol=4, byrow=TRUE)
matriz_p <- fractions(p)
matriz_p
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1/2 1/2 1/2 1/2
[2,] 2378/3363 -5741/8119 0 0
[3,] 19402/47525 19402/47525 -86329/105731 0
[4,] 75658/262087 75658/262087 75658/262087 -489061/564719rr p_inversa <- solve(matriz_p)
fractions(p_inversa)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1/2 2378/3363 19402/47525 75658/262087
[2,] 1/2 -5741/8119 19402/47525 75658/262087
[3,] 1/2 0 -86329/105731 75658/262087
[4,] 1/2 0 0 -489061/564719rr p_transpuesta <- t(p)
fractions(p_transpuesta)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1/2 2378/3363 19402/47525 75658/262087
[2,] 1/2 -5741/8119 19402/47525 75658/262087
[3,] 1/2 0 -86329/105731 75658/262087
[4,] 1/2 0 0 -489061/564719La matriz P es ortogonal puesto que su inversa y su transpuesta son iguales.
- Demuestre que A es indempotente.
rr a <- matrix(c(2, -2, -4, -1, 3, 4, 1, -2, -3), 3, 3, byrow=TRUE)
a
[,1] [,2] [,3]
[1,] 2 -2 -4
[2,] -1 3 4
[3,] 1 -2 -3rr a%*%a
[,1] [,2] [,3]
[1,] 2 -2 -4
[2,] -1 3 4
[3,] 1 -2 -3La matriz A es idempotente puesto que es igual a ella misma al cuadrado.
- Determine la composición \(f(m)\)
rr m <- matrix(c(3/2, -5/2, 2/3, -1/3), 2, 2, byrow=TRUE)
fractions(m)
[,1] [,2]
[1,] 3/2 -5/2
[2,] 2/3 -1/3rr m3 <- m%%m%%m
m2 <- m%*%m
fx = 6m3 + 3m2 - m
fractions(fx)
[,1] [,2]
[1,] -37/6 -55/6
[2,] 22/9 -116/9- Encuentre la matriz inversa y el determinante de cada una de las siguientes matrices:
rr
a <- matrix(c(1, 2, 3, 2, 5, 7, -2, -4, -5), 3, 3, byrow=TRUE)
solve(a)
[,1] [,2] [,3]
[1,] 3 -2 -1
[2,] -4 1 -1
[3,] 2 0 1rr det(a)
[1] 1rr b <- matrix(c(3, -2, -1, -4, 1, -1, 2, 0, 1), 3, 3, byrow=TRUE)
solve(b)
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1 2 3
[2,] 2 5 7
[3,] -2 -4 -5rr det(b)
[1] 1rr c <- matrix(c(0, 2, 1, 1, 3, -1, -1, 1, 2), 3, 3, byrow=TRUE)
fractions(solve(c))
[,1] [,2] [,3]
[1,] 7/2 -3/2 -5/2
[2,] -1/2 1/2 1/2La última matriz no tiene inversa puesto que el determinante es cero, es decir la matriz es singular o invertible.
Que relación existe entre las matrices que poseen inversas y el valor de su determinante? Sug: revisar la teoría vista en clase. Cuando una matriz posee inversa, se puede asumir que su determinante es mayor a cero.
- ¿Cómo se propaga una enfermedad contagiosa?. Suponga que un grupo de 4 individuos que llamaremos \(I_{1}, I_{2}, I_{3}, I_{4}\), han contraído una enfermedad.
Este grupo entra en contacto con 6 personas de un segundo grupo: \(P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}, P_{5}, P_{6}\). Este tipo de contactos se llaman directos y se pueden representar en una matriz de 4 x 6, como la que se muestra a continuación:
Note que la forma de construir dicha matriz es, colocando un 1 si una persona del primer grupo (contagiados) entra en contacto con alguna persona del segundo grupo.
Llamemos \(A\) a esta matriz de contactos Primer Contacto Directo:
Ahora suponga que las 6 personas del grupo 2 entró en contacto directo con un tercer grupo de cinco personas \(M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4}, M_{5}, M_{6}\) de la siguiente manera:
Llamamos \(B\) a esta segunda matriz de contacto:
La lógica es igual que en el caso anterior, 1 significa que un individuo del segundo grupo estuvo en contacto con un individuo del tercer grupo. Los contactos indirectos o de segundo orden, se pueden dar entre individuos del primer grupo con individuos del tercer grupo, esto es, que una persona del grupo 3, puede ser contagiada por alguien del grupo 2 que a su vez fue contagiada por alguien del grupo 1. A manera de ejemplo, note que las posiciones \(a_{24}=1\ y \ b_{45}=1\), con esto, se ve que indirectamente la quinta persona del grupo 3, tuvo contacto con una persona del grupo 1 a través de la cuarta persona del grupo 2, así:
Con respecto al caso anterior, realice los siguiente:
- Calcule una nueva matriz \(C\), tal que \(C=A \cdot B\) (Tome en cuenta que el producto es matricial, al trabajarlo en R).
rr
a_encabezados = list(c(1, 2, 3, 4), c(1, 2, 3, 4, 5, 6))
a <- matrix(c(0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1), 4, 6, byrow=TRUE, dimnames=a_encabezados)
a
P1 P2 P3 P4 P5 P6
I1 0 1 0 0 1 0
I2 1 0 0 1 0 1
I3 0 0 0 1 1 0
I4 1 0 0 0 0 1rr b_encabezados = list(c(1, 2, 3, 4, 5, 6), c(1, 2, 3, 4, 5))
b <- matrix(c(0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0), 6, 5, byrow=TRUE, dimnames=b_encabezados) b
M1 M2 M3 M4 M5
P1 0 0 1 0 1
P2 0 0 0 1 0
P3 0 1 0 0 0
P4 1 0 0 0 1
P5 0 0 0 1 0
P6 0 0 1 0 0rr c <- a%*%b c
M1 M2 M3 M4 M5
I1 0 0 0 2 0
I2 1 0 2 0 2
I3 1 0 0 1 1
I4 0 0 2 0 1- ¿Cuáles grupos de individuos (Grupo 1, 2 o 3) están quedando representados en \(C\)?, ¿quiénes están representados en las filas y quiénes en las columnas?
En la matriz \(C\) se están representanto los individuos de los tres grupos, ya que se demuestran los contactos directos e indirectos. Las filas representan a los individuos del grupo 1 (\(I\)) y la sumatoria de la fila representa los contactos indirectos que tuvo el individuo \(I_n\) con miembros del grupo \(M\) a través de miembros del grupo \(P\). Las columnas representan a los miembros del grupo 3 (\(M\)) y la sumatoria de la columna la cantidad total de contactos indirectos que tuvo el individuo (\(M_n\)) con individuos del grupo \(I\) a través de \(P\).
- Tome la fila 2 de \(C\) e interprétela (haga la extracción de esta usando un comando apropiado en R).
rr c[2,]
M1 M2 M3 M4 M5
1 0 2 0 2 El individuo \(I_{2}\) fue la persona que más contagio a miembros del grupo \(M\) de manera indirecta.
- Tome la columna 2 y 5 de \(C\) e interprételas (Use comandos apropiados en R para la extracción)
rr c[,2]
I1 I2 I3 I4
0 0 0 0 El individuo \(M_{2}\) no tuvo contacto con algún \(P\) que tuviera contacto con algún \(I\). Por lo tanto \(M_{2}\) no fue contagiado.
rr c[,5]
I1 I2 I3 I4
0 2 1 1 El individuo \(M_{5}\) fue el miembro del grupo 3 que más contactos indirectos tuvo con miembros del grupo 1 \(I\).
- Interprete la posición \(C_{43}\) (Extraiga la entrada, usando el comando apropiado en R).
rr c[4,3]
[1] 2El individuo \(I_4\) tuvo 2 contactos indirectos con el miembro \(M_3\) a través de 2 miembros del grupo 2 (\(P\))
Autor Brian Duran